XVII Campeonato de Matemática de la Universidad de La Frontera
Una tarde de otoño, como la de este domingo 28 de abril, en algún lugar de los campos de La Araucanía, el abuelo Anacleto, matemático jubilado y aventurero, entreteniendo a sus nietas, les propuso un juego, les dijo. Yo escribo un número de 4 cifras, múltiplo de 3 en un pedazo de papel, corto del papel la primera cifra, dejando las últimas tres cifras, y se lo entrego a mi nieta Violeta. Ella mira el número y a su vez le corta un pedazo de papel con la primera de las tres cifras y le pasa el papel con las últimas dos cifras a su prima Simona, ella a su vez le corta un pedazo de papel con la primera de las dos cifras y le entrega el papel con la última cifra a Magnolia.
El abuelo les dice, pongan mucha atención, como yo soy rápido para sumar, fui sumando los números en los papeles cuando tenía 4 cifras con el que tenía tres cifras más el de dos cifras más el de una cifra; esta suma dio 8974. Ahora el desafío es saber cual es el número que el abuelo escribió al principio. ¿Podrás tú averiguarlo?
1. Gabriel corta un rectángulo en cuatro rectángulos más pequeños. Los perímetros de tres de estos rectángulos más pequeños son 16, 18 y 24, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el perímetro del cuarto rectángulo pequeño?
2. Los dígitos del 0 al 9 pueden dibujarse con segmentos horizontales y verticales, como en la figura.
Gerardo elige tres dígitos distintos. En total, sus dígitos usan 5 segmentos horizontales y 10 segmentos verticales.
¿Cuál es la suma de los tres dígitos?
3. Tomás quiere pintar dos cuadrados más en la figura mostrada, de manera que el patrón resultante tenga un único eje de simetría. ¿De cuántas maneras diferentes puede completar el patrón?
4. La siguiente imagen muestra un mosaico cuadrado con 4 círculos de igual área y un área central con arena en el piso
¿Cuál es la razón entre la arena negra y el área gris?
6. Supongamos que un cuadrado de vértices A, B, C, D y un hexágono regular con lado OC, donde O es el centro del cuadrado
¿Cuál es la medida de ?
5. Cada fila y cada columna debe contener los números 1, 2, 3 y 4. Los números deben colocarse de manera que los símbolos mayor y menor que (> y < ) sean correctos en relación con los círculos que se encuentran directamente al lado. Los símbolos funcionan en todas direcciones como podemos ver en el ejemplo:
7. Un granjero vende huevos de dos tipos: de gallina y de pato. Sus huevos están en canastas que contienen 4, 6, 12, 13, 22, y 29 huevos. Su primer cliente compra todos los huevos en una canasta. El granjero nota que el número de huevos de gallina que le quedan es el doble de los huevos de pato. ¿Cuántos huevos compró el cliente?
8. La factorización en primos del número n! = 1 · 2 · · · n tiene la forma mostrada en la imagen. Los primos están escritos en orden creciente. La tinta ha cubierto algunos de los números. ¿Cuál es el exponente de 17?
¿Qué número debería estar en el círculo gris?
9. Un joven canguro cortó una pizza en 6 porciones iguales. Después de comer una rebanada, él dispuso las 5 rebanadas restantes igualmente espaciadas. ¿Cuál es el tamaño del ángulo de cada espacio?
10. Eduardo desea colorear los cuadrados y triángulos de la siguiente figura de modo que no haya dos vecinos del mismo color, incluso aquellas que comparten sólo un vértice, no deben ser del mismo color. ¿Cuál es la menor cantidad de colores que necesita?
11. Hay 6 vasos sobre una mesa boca arriba. En cualquier movimiento volteamos exactamente 4 de a ellos. ¿Cuál es el menor número de movimientos necesarios para tener todos los vasos al revés?
11. El capitán Barbarroja le pidió a cuatro de sus piratas que escribieran en un papel cuántas monedas de oro, plata, y bronce había en el cofre del tesoro. Sus respuestas se muestran en la figura pero, lamentablemente, parte del papel se ha dañado. Solo uno de los piratas dice la verdad, los otros tres mintieron en todas sus respuestas. En total, en el cofre había 30 monedas. ¿Quién dice la verdad?
13. En cada uno de los 12 círculos de la imagen se escriben números naturales no necesariamente distintos. El número dentro de cada cuadrado indica el producto de los números ubicados en los vértices.
¿Cuál es el producto de los números de los 8 círculos grises?
14. Un sendero negro y uno gris cruzan un parque como se muestra en la figura. Cada sendero divide el parque en dos regiones de igual área . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre cierta sobre las áreas A, B y C?
15. Carmen corta tres círculos de tres piezas distintas de cartas de colores. Ella mueve los círculos de tal manera que los 3 círculos son tangentes entre sí. En la primera figura, el área de la región negra visible es 7 veces el área del círculo blanco ¿Cuál es la razón entre las áreas de las regiones negras de la figura 1 y la figura 2?
16. La hija de Laura dio a luz a un bebe hoy. En dos años, el producto de las edades de Laura, su hija y su nieta será 2024 ¿Si las edades de Laura y su hija son números pares, qué edad tiene Laura hoy?
17. María ha manipulado un dado. Las probabilidades de sacar un 2, 3, 4 o 5 siguen siendo cada uno, pero la probabilidad de sacar un 6 es el doble de la probabilidad de sacar un 1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 6?
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