XVII Campeonato de Matemática de la Universidad de La Frontera Problemas Segunda Fecha
El abuelo Anacleto, matemático jubilado y aventurero, trajo consigo un fascinante juego de cartas durante uno de sus viajes. Este juego consiste en 9 cartas de distintos colores y tamaños, numeradas del 1 al 9, cada una con un dígito diferente.
Una tarde, mientras jugaba con sus nietas y ordenaba su escritorio, accidentalmente derramó el mazo de cartas, dispersándolas por el suelo. Sus tres nietas, diligentes, se apresuraron a recogerlas. Anacleto sólo pudo alcanzar a recoger una carta, dejando que sus nietas se encargaran del resto. En ese momento, se le ocurrió pedirles que multiplicaran los números en las cartas que habían recogido. Violeta informó: "El resultado del producto de los números en mis cartas es 24"; Simona dijo: "El producto en las mías es 35"; y Magnolia anunció que el producto de sus números era 72. Impresionado por la agudeza de sus nietas, Anacleto las felicitó: "Muy bien, han calculado correctamente el producto de las cartas que cada una de ustedes recogió. Ahora, ¿podría alguna de ustedes decirme qué número está en la carta que yo recogí?".
¿Cuántos números diferentes de dos cifras con 5 puntos negros hay exactamente?
2. Julio corta las cuatro esquinas de un tetraedro regular, como se muestra en la figura. ¿Cuántas esquinas tiene el sólido que queda?
3. El número de puntos de dos caras opuestas de un dado de 6 caras suman 7. El vértice etiquetado con P en el dado está formado por las caras 1, 2 y 3. El valor del vértice es la suma de los puntos de las caras que se encuentran en alguna esquina. El valor de P = 1 + 2 + 3
1. Los dígitos numéricos en el sistema Braille son
¿Cuál de los vértices etiquetados tiene mayor valor?
4. La figura muestra el plano de las 7 rutas de tren de un pequeño pueblo. Los círculos indican las estaciones. Queremos pintar las líneas de tal manera que si dos líneas comparten una estación común, entonces se pintarán con colores diferentes.
¿Cuál es el menor número de colores que podemos utilizar?
5. Una abuela tiene una determinada cantidad de caramelos y quiere repartirlos entre sus nietos dándole a cada uno una bolsa con la misma cantidad de caramelos. Pone en cada bolsa el máximo número posible de caramelos y cuando termina ve que hay 20 caramelos en cada bolsa y sobran 12 caramelos.
¿Cuál es la menor cantidad posible de dulces que podría tener?
6. Cuatro números naturales distintos se ubican en una cuadricula y luego son cubiertos. El producto de los enteros en cada fila y columna se muestra en la figura.
¿Cuál es la suma de los cuatro números?
7. María escribe los números del 1 al 8 en los vértices de un cubo de modo que la suma de los números en los vértices de cada cara sea la misma. Los números 6, 7 y 8 ya están colocados. ¿Qué número debería escribir María en el vértice con el signo de interrogación?
8. Paula la pingüino sale a pescar todos los días y siempre trae doce peces para sus dos crías. Cada día le da de comer siete peces a la primera cría que ve, y cinco a la segunda. En los últimos días, una de las crías ha comido 44 peces. ¿Cuántos peces ha comido la otra cría?
9. Tamara está planeando hacer un gran mosaico cuadrado con un patrón que usa lozas hexagonales y triangulares, como se muestra en la figura.
Ella cree que usará 3000 lozas hexagonales para todo el mosaico. ¿Cuántas lozas triangulares necesitará, aproximadamente?
10. Un juego de saltos se juega de la siguiente manera: cada jugador salta a un cuadrado, alternando entre pie izquierdo - ambos pies - pie derecho - ambos pies - pie izquierdo - ambos pies y así sucesivamente como se muestra en la imagen:
María jugó y saltó exactamente en 48 cuadrados partiendo por el pie izquierdo ¿Cuántas veces tocó el suelo su pie izquierdo?
11. La siguiente figura muestra una colmena con 16 casillas. En algunas casillas hay miel. Los números de cada casilla indican el número de vecinos de esa casilla que tienen miel. Según estos números, ¿Cuántas casillas con miel hay en la colmena?
12. Cristian cortó cuatro cuadrados de las esquinas del cuadrado más grande, de modo que el área restante (no sombreada) es la mitad del área del cuadrado original. La medida de los lados de cada cuadrado recortado se muestra en la imagen. ¿Cuál es el perímetro de la figura restante?
13. José quiere dibujar la siguiente figura sin levantar el lápiz. El tamaño de las líneas son las dadas ¿Cuál es la menor longitud que puede dibujar si puede escoger el punto de partida?
14. En un cuadrado de 6 cm de lado se dibujan una diagonal, un semicírculo y un cuarto de círculo, como se muestra en el dibujo. ¿Cuál es el área de la parte sombreada en centímetros cuadrados?
15. Hay tres dados especiales idénticos sobre una mesa. ¿Cuál es la suma de los números de las caras que tocan la mesa?
16. Cristina tiene un conjunto de fichas numeradas del 1 al 12. Ella coloca ocho de ellas en las esquinas de un octágono de tal manera que la suma de cada par de números que comparten una arista sea múltiplo de 3 ¿Qué números no colocó Cristina?
17. Ana coloca las letras A, B, C y D en una tabla de 2 × 4 como se muestra.
Ella desea que en cada fila y en cada uno de los tres cuadrados de 2 × 2 cada letra aparezca sólo 1 vez ¿De cuántas formas puede hacerlo?
18. Inés ha lanzado un dado normal 24 veces. Todos los números del 1 al 6 han salido al menos una vez. El número 1 ha salido más veces que cualquier otro número. Inés ha sumado todos los números. ¿Cuál es la suma máxima que podría haber obtenido?
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